Réel négatif / imaginaire pur - Corrigé

Énoncé

Déterminer tous les entiers \(n \in \mathbb{N}\) tels que :

1. le nombre \(\left(\cos\dfrac{\pi}{7}+i\sin\dfrac{\pi}{7}\right)^n\)   soit un réel négatif ;

2. le nombre \(\cos\left(\dfrac{n\pi}{20}\right)+i\sin\left(\dfrac{n\pi}{9}\right)\)   soit un imaginaire pur.

Solution

1. Pour tout \(n \in \mathbb{N}\) , \(\left(\cos\dfrac{\pi}{7}+i\sin\dfrac{\pi}{7}\right)^n=\left(\text e^{\frac{i\pi}{7}}\right)^n=\text e^{\frac{in\pi}{7}}\) , donc  \(\begin{align*}\left(\cos\frac{\pi}{7}+i\sin\frac{\pi}{7}\right)^n \in \mathbb{R}_-& \Longleftrightarrow\arg\left[\left(\cos\frac{\pi}{7}+i\sin\frac{\pi}{7}\right)^n\right] \equiv \pi \ [2\pi]\\& \Longleftrightarrow\frac{n\pi}{7} \equiv \pi \ [2\pi]\\& \Longleftrightarrow n \equiv 7 \ [14]\end{align*}\)
donc \(\left(\cos\dfrac{\pi}{7}+i\sin\dfrac{\pi}{7}\right)^n\) est un réel négatif si, et seulement si, \(n=14k+7\) avec \(k \in \mathbb{N}\) .

2. Pour tout \(n \in \mathbb{N}\) , \(\cos\left(\dfrac{n\pi}{9}\right)+i\sin\left(\dfrac{n\pi}{9}\right)=\text e^{\frac{in\pi}{9}}\) , donc 
\(\begin{align*}\cos\left(\frac{n\pi}{9}\right)+i\sin\left(\frac{n\pi}{9}\right) \in i\mathbb{R}& \Longleftrightarrow\arg\left[\cos\left(\frac{n\pi}{9}\right)+i\sin\left(\frac{n\pi}{9}\right)\right] \equiv \frac{\pi}{2} \ [\pi]\\& \Longleftrightarrow\frac{n\pi}{9} \equiv \frac{\pi}{2} \ [\pi]\\& \Longleftrightarrow n \equiv \frac{9}{2} \ [9]\end{align*}\)
Or  \(\dfrac{9}{2} + 9k\) n'est entier pour aucun entier entier naturel \(k\) . Or, comme \(n\)  est un entier naturel, on en déduit donc que \(\cos\left(\dfrac{n\pi}{9}\right)+i\sin\left(\dfrac{n\pi}{9}\right)\) n'est un imaginaire pur pour aucun entier naturel \(n\) .